Binomial and Poisson Distributions

Binomial & Poisson Distributions (बाइनॉमियल और पॉइसन वितरण):-

Binomial Distribution (बाइनॉमियल वितरण):- The Binomial distribution is a discrete probability distribution that models the number of successes in a fixed number of independent trials of a binary experiment. Each trial in this experiment has two possible outcomes: "success" (usually denoted by p) and "failure" (denoted by = 1−q = 1−p).

[बाइनॉमियल वितरण एक विविक्त प्रायिकता वितरण है, जो एक निश्चित संख्या में स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को मॉडल करता है। प्रत्येक परीक्षण में दो संभावित परिणाम होते हैं: "सफलता" (p) और "विफलता" (= 1−q = 1 - p]

Key Characteristics (मुख्य विशेषताएँ):-

i. Fixed Number of Trials (परीक्षणों की निश्चित संख्या) (n):- The number of trials (or experiments) is fixed.

[परीक्षणों की संख्या (या प्रयोग) निश्चित होती है।]

ii. Two Possible Outcomes (दो संभावित परिणाम):- Each trial results in a success or a failure.

(प्रत्येक परीक्षण का परिणाम या तो सफलता या विफलता होता है।)

Constant Probability (नियत प्रायिकता) (p):- The probability of success is the same in every trial.

(सफलता की प्रायिकता प्रत्येक परीक्षण में समान होती है।)

iv. Independent Trials (स्वतंत्र परीक्षण):- The outcome of any trial does not affect the outcomes of the other trials.

(किसी भी परीक्षण का परिणाम अन्य परीक्षणों के परिणामों को प्रभावित नहीं करता है।)

Probability Mass Function (प्रायिकता द्रव्यमान फलन) (PMF):- The probability of getting exactly k successes in n trials is given by the Binomial probability formula:

(n परीक्षणों में ठीक k सफलताओं की प्रायिकता बायनॉमियल प्रायिकता सूत्र से दी जाती है:)

Mean and Variance (माध्य और वेरिएन्स):-

Example (उदाहरण):- Suppose you flip a fair coin 10 times. What is the probability of getting exactly 6 heads?

(मान लीजिए आप 10 बार एक सिक्का उछालते हैं। 6 बार हेड्स आने की ठीक प्रायिकता क्या है?)

Here (यहाँ):

n=10,

p=0.5 (since it's a fair coin) (क्योंकि यह एक निष्पक्ष सिक्का है),

k=6.

Using the binomial formula:

(बायनॉमियल सूत्र का उपयोग करते हुए:)

Poisson Distribution (पॉइसन वितरण):- The Poisson distribution is a discrete probability distribution that models the number of events occurring within a fixed interval of time or space. It is particularly useful for modeling rare events, where the probability of an event occurring in any short interval is small.

(पॉइसन वितरण एक विविक्त प्रायिकता वितरण है जो एक निश्चित समय या स्थान के अंतराल में घटनाओं की संख्या को मॉडल करता है। यह दुर्लभ घटनाओं के मॉडलिंग के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जहाँ किसी भी छोटे अंतराल में घटना होने की प्रायिकता बहुत कम होती है।)

Key Characteristics (मुख्य विशेषताएँ):-

i. Rare Events (दुर्लभ घटनाएँ):- The Poisson distribution is used to model the occurrence of rare events over a fixed interval.

(पॉइसन वितरण का उपयोग दुर्लभ घटनाओं की एक निश्चित अंतराल में होने की संभावना का मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है।)

ii. Constant Rate (नियत दर) (λ):- Events occur with a constant mean rate (λ) during the given interval.

(घटनाएँ दिए गए अंतराल में एक नियत औसत दर (λ) के साथ होती हैं।)

iii. Independence (स्वतंत्रता):- The occurrence of one event does not affect the probability of another event occurring.

(एक घटना का होना दूसरी घटना के होने की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करता है।)

Probability Mass Function (प्रायिकता द्रव्यमान फलन) (PMF):- The probability of observing k events in a fixed interval is given by the Poisson formula:

(एक निश्चित अंतराल में k घटनाओं के होने की प्रायिकता पॉइसन सूत्र द्वारा दी जाती है:)

Where (जहाँ):

k is the number of events,

(k घटनाओं की संख्या है,)

λ is the average number of events in the interval,

(λ अंतराल में औसत घटनाओं की संख्या है,)

e is the base of the natural logarithm (approximately 2.71828).

[e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है (लगभग 2.71828)]

Mean and Variance (माध्य और वेरिएन्स):-

Example (उदाहरण):- Suppose the average number of cars that pass through a toll booth in one hour is 5. What is the probability that exactly 7 cars pass through the booth in one hour?

(मान लीजिए कि एक घंटे में एक टोल बूथ से गुजरने वाली गाड़ियों की औसत संख्या 5 है। एक घंटे में ठीक 7 गाड़ियों के गुज़रने की प्रायिकता क्या है?)

Here (यहाँ):

λ=5,

k=7.

Using the Poisson formula:

(पॉइसन सूत्र का उपयोग करते हुए:)

Comparison between Binomial and Poisson Distributions (बाइनॉमियल और पॉइसन वितरण के बीच तुलना:):-

Applicability (उपयोगिता):- Binomial is used when the number of trials is fixed and each trial is independent with two outcomes, while Poisson is used for modeling the number of occurrences of events in a continuous interval (e.g., time, space).

[बाइनॉमियल का उपयोग तब किया जाता है जब परीक्षणों की संख्या निश्चित होती है और प्रत्येक परीक्षण स्वतंत्र होता है जिसमें दो परिणाम होते हैं, जबकि पॉइसन का उपयोग निरंतर अंतराल (जैसे समय, स्थान) में घटनाओं की संख्या के मॉडलिंग के लिए किया जाता है।]

Relationship (संबंध):- For large n and small p such that = np = λ (constant), the Binomial distribution approximates the Poisson distribution.

[बड़े n और छोटे p के लिए, जहाँ np = λ (नियत), बाइनॉमियल वितरण पॉइसन वितरण के समान हो जाता है।]