Definition of Probability, Addition and Multiplication Theorem (without proof)

Definition of Probability, Addition and Multiplication Theorem (without proof) [प्रायिकता की परिभाषा, योग और गुणन प्रमेय (बिना प्रमाण के)]:-

Probability (प्रायिकता):- Probability is a measure of the likelihood that a specific event will occur. It is a numerical value that ranges from 0 to 1, where 0 indicates an impossible event, and 1 indicates a certain event. In simple terms, probability quantifies uncertainty and is used to predict the outcome of random experiments.

(प्रायिकता एक माप है जो किसी विशेष घटना के घटित होने की संभावना को दर्शाती है। यह एक संख्यात्मक मान है जो 0 से 1 के बीच होता है, जहाँ 0 का अर्थ है कि घटना असंभव है, और 1 का अर्थ है कि घटना निश्चित रूप से घटित होगी। सरल शब्दों में, प्रायिकता अनिश्चितता को मापती है और इसे यादृच्छिक प्रयोगों के परिणामों की भविष्यवाणी करने के लिए उपयोग किया जाता है।)

Basic Concepts of Probability (प्रायिकता के मूलभूत सिद्धांत):-

Experiment (प्रयोग):- A process or action that results in one or more outcomes. For example, rolling a die or flipping a coin.

(एक प्रक्रिया या क्रिया जो एक या अधिक परिणाम देती है। उदाहरण के लिए, एक पासा फेंकना या सिक्का उछालना।)

Sample Space (नमूना स्थान) (S):- The set of all possible outcomes of an experiment. For example, the sample space for flipping a coin is {Heads, Tails}.

[एक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का सेट। उदाहरण के लिए, सिक्का उछालने पर नमूना स्थान {हेड्स, टेल्स} होता है।]

Event (घटना) (E):- A subset of the sample space. For example, getting a "Head" when flipping a coin is an event.

(नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय। उदाहरण के लिए, सिक्का उछालने पर "हेड्स" आना एक घटना है।)

Probability (प्रायिकता) (P):- The measure of how likely an event is to occur.

(किसी घटना के घटित होने की संभावना का मापन।)

Types of Probability:-

i. Classical Probability (स्थानीय प्रायिकता):- If all outcomes of an experiment are equally likely, the probability of an event A occurring is given by:

(यदि किसी प्रयोग के सभी परिणाम समान रूप से संभावित हों, तो किसी घटना A के घटित होने की प्रायिकता निम्नलिखित होती है:)

ii. Empirical Probability (प्रायोगिक प्रायिकता):- Based on observations or experiments. If an event A occurred nA  times out of n trials, the probability is given by:

(यह अवलोकनों या प्रयोगों पर आधारित होती है। यदि किसी घटना A के घटित होने की संख्या nA और कुल प्रयोगों की संख्या n है, तो प्रायिकता निम्नलिखित होती है:)

iii. Complementary Probability (पूरक प्रायिकता):- The probability of an event not occurring is called the complementary probability.

(किसी घटना के घटित न होने की प्रायिकता को पूरक प्रायिकता कहते हैं।)

Addition Theorem of Probability (प्रायिकता की योग प्रमेय):- The Addition Theorem of Probability is used to find the probability of the occurrence of at least one of two (or more) events. There are two main cases for the addition theorem:

[प्रायिकता का योग प्रमेय का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जाता है कि दो (या अधिक) घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की प्रायिकता क्या है। इसके दो मुख्य मामले होते हैं:]

i. Mutually Exclusive Events (परस्पर विशिष्ट घटनाएँ):- Events are mutually exclusive if they cannot occur at the same time (i.e., they have no common outcomes). For two mutually exclusive events A and B:

(घटनाएँ परस्पर विशिष्ट होती हैं यदि वे एक साथ घटित नहीं हो सकतीं (अर्थात उनका कोई सामान्य परिणाम नहीं होता)। दो परस्पर विशिष्ट घटनाओं A और B के लिए:)

For three mutually exclusive events A, B, and C:

(तीन परस्पर विशिष्ट घटनाओं A, B, और C के लिए:)

ii. Non-Mutually Exclusive Events (परस्पर अनन्य घटनाएँ):- If events can occur simultaneously (i.e., they have some common outcomes), the formula must account for the overlap:

[यदि घटनाएँ एक साथ घटित हो सकती हैं (अर्थात उनका कुछ सामान्य परिणाम हो सकता है), तो सूत्र में उस ओवरलैप को ध्यान में रखा जाता है:]

For three events A, B, and C, the addition theorem is extended as:

(तीन घटनाओं , B, और C के लिए, योग प्रमेय निम्नलिखित होता है:)

Multiplication Theorem of Probability (प्रायिकता की गुणन प्रमेय):- The Multiplication Theorem of Probability deals with the probability of the occurrence of two or more events in sequence (independent or dependent). There are two main cases:

[प्रायिकता की गुणन प्रमेय का उपयोग दो या अधिक घटनाओं के क्रमिक घटित होने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए किया जाता है (स्वतंत्र या आश्रित घटनाओं के लिए)। इसके दो मुख्य मामले होते हैं:]

i. Independent Events (स्वतंत्र घटनाएँ):- Events are independent if the occurrence of one does not affect the occurrence of the other. For two independent events A and B:

(घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक के घटित होने का प्रभाव दूसरे पर नहीं पड़ता। दो स्वतंत्र घटनाओं A और B के लिए:)

For three independent events A, B, and C:

(तीन स्वतंत्र घटनाओं A, B, और C के लिए:)

ii. Dependent Events (आश्रित घटनाएँ):- Events are dependent if the occurrence of one event affects the occurrence of the other. For two dependent events A and B:

(घटनाएँ आश्रित होती हैं यदि एक घटना के घटित होने से दूसरी घटना पर प्रभाव पड़ता है। दो आश्रित घटनाओं A और B के लिए:)

For three dependent events A, B, and C:

(तीन आश्रित घटनाओं A, B, और C के लिए:)

Key Points to Remember (याद रखने योग्य मुख्य बिंदु):-

> Probability values range between 0 and 1.

(प्रायिकता के मान 0 से 1 के बीच होते हैं।)

> The Addition Theorem helps calculate the probability of either one or both events occurring.

(योग प्रमेय का उपयोग किसी एक या दोनों घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता निकालने के लिए किया जाता है।)

> The Multiplication Theorem is used to find the probability of two events happening together, with adjustments made depending on whether the events are independent or dependent.

(गुणन प्रमेय का उपयोग दो घटनाओं के साथ-साथ घटित होने की प्रायिकता का पता लगाने के लिए किया जाता है, जिसमें यह देखा जाता है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं या परस्पर निर्भर।)