One sample and two sample test t for Means

One sample & two sample test t for Means (माध्य के लिए एक-नमूना t-परीक्षण और दो-नमूना t-परीक्षण):- The t-test is a statistical test used to determine if there is a significant difference between the means of two groups or if a single group's mean significantly differs from a known value. It’s especially useful when the sample size is small and the population standard deviation is unknown. There are two main types of t-tests: the one-sample t-test and the two-sample t-test.

(t-परीक्षण एक सांख्यिकीय परीक्षण है जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि दो समूहों के औसत में कोई महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं, या एकल समूह का औसत एक ज्ञात मान से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न है या नहीं। यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब नमूने का आकार छोटा हो और जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात हो। t-परीक्षण के दो मुख्य प्रकार हैं: एक-नमूना t-परीक्षण और दो-नमूना t-परीक्षण।)

One-Sample t-Test (एक-नमूना t-परीक्षण):-

Purpose (उद्देश्य):- The one-sample t-test is used to compare the mean of a single sample to a known value or a theoretical expectation (e.g., population mean).

[एक-नमूना t-परीक्षण का उपयोग किसी एकल नमूने के औसत की तुलना एक ज्ञात मान या सैद्धांतिक अपेक्षा (जैसे जनसंख्या माध्य) से करने के लिए किया जाता है।]

When to use (कब उपयोग करें):-

> When you have one group of data.

(जब आपके पास डेटा का एक समूह हो।)

> When you want to compare the sample mean to a known or hypothesized population mean.

(जब आप नमूने के माध्य की तुलना एक ज्ञात या परिकल्पित जनसंख्या माध्य से करना चाहते हैं।)

Hypotheses (परिकल्पना):-

i. Null hypothesis (शून्य परिकल्पना) (H0):- The sample mean is equal to the population mean (μ = μ0​).

[नमूने का माध्य जनसंख्या के माध्य के बराबर है (μ=μ0)।]

ii. Alternative hypothesis (वैकल्पिक परिकल्पना) (Ha):- The sample mean is not equal to the population mean (μ ≠ μ0​).

[नमूने का माध्य जनसंख्या के माध्य के बराबर नहीं है (μ ≠ μ0​)।]

Test Statistic (परीक्षण सांख्यिकी):- The t-statistic for a one-sample t-test is calculated as:

(एक-नमूना t-परीक्षण के लिए t-सांख्यिकी की गणना निम्न प्रकार से की जाती है:)

Degrees of Freedom (स्वतंत्रता की कोटि) (df):- n − 1

Interpretation (व्याख्या):-

> Compare the calculated t-value to the critical t-value from the t-distribution table at a chosen significance level (α), based on the degrees of freedom.

[गणना किए गए t-मान की तुलना t-वितरण तालिका से की जाती है, जिसे किसी चुने गए महत्वपूर्ण स्तर (α) पर, स्वतंत्रता की कोटि के आधार पर देखा जाता है।]

> If the calculated t-value is greater than the critical value, reject the null hypothesis.

(यदि गणना किया गया t-मान क्रान्तिक मान से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है।)

Example (उदाहरण):- Suppose you want to test if the average height of a sample of 30 students is different from the known population mean of 170 cm. You would calculate the t-statistic using the sample mean, standard deviation, and compare it to the t-distribution with n − 1 degrees of freedom.

(मान लीजिए कि आप 30 छात्रों के एक नमूने की औसत ऊंचाई का परीक्षण करना चाहते हैं और देखते हैं कि वह ज्ञात जनसंख्या माध्य 170 सेमी से अलग है या नहीं। आप नमूना माध्य, मानक विचलन का उपयोग करके t-सांख्यिकी की गणना करेंगे और इसे स्वतंत्रता की कोटि n − 1 के साथ t-वितरण से तुलना करेंगे।)

Two-Sample t-Test (दो-नमूना t-परीक्षण):-

Purpose (उद्देश्य):- The two-sample t-test is used to compare the means of two independent groups to determine if they are statistically significantly different from each other.

(दो-नमूना t-परीक्षण का उपयोग दो स्वतंत्र समूहों के औसत की तुलना करने के लिए किया जाता है ताकि यह पता लगाया जा सके कि क्या उनके बीच सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं।)

Types (प्रकार):-

i. Independent two-sample t-test (स्वतंत्र दो-नमूना t-परीक्षण):- Compares the means of two independent or unrelated groups (e.g., the mean scores of two different classes).

[दो स्वतंत्र या असंबंधित समूहों के माध्य की तुलना करता है (जैसे, दो अलग-अलग कक्षाओं के माध्य स्कोर)।]

ii. Paired t-test (युग्मित t-परीक्षण):- Compares the means from the same group at different times (e.g., before and after treatment).

[एक ही समूह के अलग-अलग समय पर लिए गए माध्य की तुलना करता है (जैसे, उपचार से पहले और बाद में)।]

When to use (कब उपयोग करें):-

> When you have two independent samples or two related samples.

(जब आपके पास दो स्वतंत्र नमूने हों या दो संबंधित नमूने हों।)

> When you want to compare their means.

(जब आप उनके माध्य की तुलना करना चाहते हों।)

Hypotheses (परिकल्पना):-

i. Null hypothesis (शून्य परिकल्पना) (H0):- The means of the two groups are equal (μ1 = μ2).

[दोनों समूहों के औसत समान हैं (μ1 = μ2)।]

ii. Alternative hypothesis (वैकल्पिक परिकल्पना) (Ha):- The means of the two groups are not equal (μ1 ≠ μ2).

[दोनों समूहों के औसत समान नहीं हैं (μ1 ≠ μ2)।]

Test Statistic (परीक्षण सांख्यिकी):-

i. For Independent Two-Sample t-Test (स्वतंत्र दो-नमूना t-परीक्षण के लिए):-

> Assuming equal variances (pooled variance) [समान विचरणों को मानकर (पूल्ड विचरण)]:

Where (जहां):

Sp is the pooled standard deviation:

(Sp संयुक्त मानक विचलन है:)

ii. For Paired t-Test (युग्मित t-परीक्षण के लिए):-

> The test statistic is calculated using the differences between paired observations:

(परीक्षण सांख्यिकी युग्मित अवलोकनों के बीच के अंतर का उपयोग करके गणना की जाती है:)

Degrees of Freedom (स्वतंत्रता की कोटि):-

i. For independent two-sample t-test (स्वतंत्र दो-नमूना t-परीक्षण के लिए):- df = n1 + n2 − 2

ii. For paired t-test (युग्मित t-परीक्षण के लिए):- df = n − 1

Interpretation (व्याख्या):-

> Compare the calculated t-value to the critical value from the t-distribution table based on the degrees of freedom.

(गणना किए गए t-मान की तुलना स्वतंत्रता की कोटि के आधार पर t-वितरण तालिका के महत्वपूर्ण मान से की जाती है।)

> If the calculated t-value exceeds the critical value, reject the null hypothesis.

(यदि गणना किया गया t-मान महत्वपूर्ण मान से अधिक है, तो शून्य परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया जाता है।)

Example (उदाहरण):- Suppose you want to compare the test scores of two different teaching methods on two different classes of students. You would use an independent two-sample t-test to see if there is a significant difference in the mean scores between the two classes.

(मान लीजिए कि आप दो अलग-अलग कक्षाओं के छात्रों पर दो अलग-अलग शिक्षण विधियों के परीक्षा परिणामों की तुलना करना चाहते हैं। आप स्वतंत्र दो-नमूना t-परीक्षण का उपयोग करेंगे यह देखने के लिए कि दोनों कक्षाओं के माध्य स्कोर में कोई महत्वपूर्ण अंतर है या नहीं।)

Assumptions of t-Tests (t-परीक्षण की धारणाएँ):-

> The data should be approximately normally distributed (especially important for small sample sizes).

[डेटा लगभग सामान्य वितरण में होना चाहिए (विशेषकर छोटे नमूने के आकार के लिए)।]

> The data should be independent (except in the paired t-test).

[डेटा स्वतंत्र होना चाहिए (युग्मित t-परीक्षण को छोड़कर)।]

> For the two-sample t-test assuming equal variances, the variances of the two groups should be approximately equal (homogeneity of variances).

[समान विचरण की मान्यता के साथ दो-नमूना t-परीक्षण के लिए, दोनों समूहों के विचरण लगभग समान होने चाहिए।]